变限积分的连续性和可微性
(01)定理一 若 f 可积,则变限积分是连续的。我们只要证明函数增量趋近于零即可:对任意的 x 属于区间 [a,b]
(02)因为 f 有界,所以可设
(03)同理,当增量小于零也类似,所以最终得到:
(04)所以函数在点 x 连续,由于 x 的任意性,所以函数在整个区间连续。
(05)定理二 若 f 连续,则变限积分是处处可导的。按照导数的定义,可知:
(06)由积分中值定理,存在一点 z ,使得:
(07)这个定理又叫原函数存在定理,沟通了导数和定积分两个概念,更重要的是以积分形式给出了 f 的一个原函数。
复合变限积分
(01)对于复合变限积分,显然是一种特殊的复合函数,我们只要使用复合函数的求导法,就能轻松的求出这三个积分。
(02)对于最复杂的第三个,这种积分会经常遇到,一定要熟练使用:
(03)比如下面这个积分,要3秒钟写出导数。把上下限分别带入被积函数,然后记得乘以上下限的导数。
积分号下的变限积分
(01)这类问题有些时候看起来很复杂,因为有很多个积分变量,并且有些积分求不出原函数,但是只要看清楚积分的形式。
(02)使用分部积分法,把复杂的积分放在微分号后面,问题就很简单了。